关于晶胞

（1）晶胞具有平移性

用锤子轻轻敲击具有整齐外形的晶体（如方解石），会发现晶体劈裂出现的新晶面与某一原晶面是平行的，这种现象叫做晶体的解理性。古人由晶体解理性猜测，晶体是由无数肉眼看不见的，形状、大小、取向相同的微小几何体堆积而成的，后来，这种观念发展成晶胞的概念——整块晶体是由完全等同的晶胞无隙并置地堆积而成的。“完全等同”可从“化学上等同”和“几何上等同”两个方面来理解。“化学上等同”指晶胞里原子的数目和种类完全等同；“几何上等同”既指所有晶胞的形状、取向、大小等同，而且指晶胞里原子的排列（包括空间取向）完全等同。“无隙并置”即一个晶胞与它的相邻晶胞是完全共顶角、共面、共棱的，取向一致，无间隙，从一个晶胞到另一个晶胞只需平移，不需转动，进行或不进行平移操作，整个晶体的微观结构不可区别。晶胞的这种本质属性可归纳为晶胞具有平移性。

图1中的晶胞是指实线小立方体呢还是指虚线大立方体？为什么？

图1哪个是氯化钠晶胞？哪个是金刚石晶胞？

[答]  图1中的小立方体不具有平移性，因为它与相邻的小立方体并非等同。相反，大立方体才具有平移性，在它的上下左右前后都有无隙并置的完全等同的立方体，只是没有画出来而已，因此大立方体才是晶胞，小立方体不是晶胞。

晶胞具有相同的顶角、相同的平行面和相同的平行棱是晶胞平移性这一本质特征的必然推论。这里的所谓“相同”，包括“化学上相同”（原子或分子相同）和“几何上相同”（原子的排列与取向），不具有平移性就不是晶胞。

（2）晶胞中原子的坐标与计数

原子在晶胞中的位置，科学的表述是原子坐标。坐标必定是对应于一个参考系的术语。晶胞的参考系的原点，习惯上取在晶胞的左-后-下顶角上，并把相交于这个原点的晶胞的三根棱按右手坐标定为a、b、c，通常以向前方（指向观察者）为+a，向右为+b，向上为+c（但并非必定如此，这只是大多数情况下的习惯画法，a、b、c的指向可以改变，但原点和右手坐标系一般不改变，否则利用计算机程序画晶胞时会出现混乱）。在这样一个坐标系中，原子的坐标就是指向量和xa+yb+zc中的（x,y,z）三数组的三个数字。例如，原点的坐标是0，0，0；体心的坐标是1/2，1/2，1/2；等等。如图2画了15个原子，然而，若考察原子坐标，却只有4种原子坐标，可见图中的晶胞只有4个原子！

图2晶胞中的原子坐标与计数举例

请注意：①x、y、z三个数的取值范围是1>x(y、z)>-1,不会等于1或大于1，也不会等于或小于-1，可以简单地记忆为“1即是0”；②由此可见，晶胞的8个顶角的坐标是一样的，换句话说，它们是同一个原子。请回过头来看图1。若取实线的小立方体为晶胞，8个顶角的原子不一样了，可见错了；③再细致点，我们可以肯定：若一个原子坐标在晶面上，肯定在晶胞图上可以看见一对（位于平行的两个面上），反过来说，三对面如果都有原子，必定有三个原子坐标，而不是一个原子坐标。同样的道理，如果某原子在晶胞的棱上，在晶胞图上将看到4个原子，位于平行的4个棱上。反过来说，如果晶胞的12根棱上全有原子，肯定不会有相同的坐标，而是有3个坐标。

有了原子坐标的概念，数晶胞里的原子数目，变得很简单——有多少种不同的原子坐标，就有多少个原子，至于不同坐标的原子是否同种原子，跟晶胞中有多少个原子毫无关系。

（3）晶胞不一定都取平行六面体

可以选为晶胞的多面体很多，只要它们可无隙并置地充满整个微观空间，即具有平移性，都可以选取，如图3所示的五种（注：图3的五种可无隙并置地填满整个空间的多面体是费多罗夫证明的，可称为费多罗夫体。需补充说明的是，费多罗夫体是拓扑型，只要保持平行面和平行棱的特征，每一种费多罗夫体的面间度是可任意改变的，例如，图中的六方柱体的底面上三对平行棱的边长不等而成不正的平行六角形，或者柱面与底面的夹角不是90°而以其他角度呈斜柱体，都仍可以无隙并置。其他费多罗夫体具有相同的性质。除费多罗夫体外，还有所谓布里渊体，不必是凸多面体，也可被选为描述晶体结构的晶胞，其形状更为复杂多样了。）。但应强调指出，若不指明，三维的“习用晶胞”都是平行六面体，即图3中最左边的一种（二维平面上的晶胞则是平行四边形），叫做布拉维晶胞，即通常所指的晶胞。

图3多面体只要可无隙并置地充满整个微观空间，都可被选为晶胞用，但习用晶胞是平行六面体

[例1]某些晶体，例如金属镁，在历史上曾用六方柱体作为它的晶胞。图4用实线画出了这种过时的晶胞。有人说，一个六方柱体晶胞包含三个布拉维晶胞（如图4中用实线画出了3个平行六面体）。这种说法对吗？

[答]不对。我们只能选取其中任何一个平行六面体为布拉维晶胞而不能同时选三个。因为在同一个六方柱体里的三个平行六面体尽管无隙却不并置，从一个平行六面体到另一个平行六面体需要转动，并非平移关系。图4用虚线画出了选取六方柱体前右平行六面体为晶胞时的相邻晶胞之一（请读者用虚线自行画出更多的相邻晶胞）。习惯使用的晶胞是布拉维晶胞，必为平行六面体；所有晶胞在晶体中取向相同。

图4老的六方柱体晶胞和习用晶胞的关系

（4）素晶胞与复晶胞——体心晶胞、面心晶胞和底心晶胞

晶胞是描述晶体微观结构的基本单元，但不一定是最小单元。晶胞有素晶胞和复晶胞之分。素晶胞，符号P，是晶体微观空间中的最小基本单元，不可能再小。素晶胞中的原子集合相当于晶体微观空间中的原子作周期性平移的最小集合，叫做结构基元。复晶胞是素晶胞的多倍体；分体心晶胞（2倍体），符号I；面心晶胞（4倍体），符号F；以及底心晶胞（2倍体）三种。

体心晶胞的特征是晶胞内的任一原子作体心平移【原子坐标+（1/2，1/2，1/2】必得到与它完全相同的原子。例如，若晶胞内有一个坐标为0，0，0的原子（即处于晶胞的顶角），必同时有一个坐标为1/2，1/2，1/2相同原子（处于晶胞体心）。

检验某晶胞是否体心晶胞的方法很多。（1）如果晶胞中的原子很少，可直接考察它们的原子坐标。例如，若在一个晶胞里只有2个原子，一个原子的坐标为0，0，0，另一个原子的坐标为1/2，1/2，1/2，而且它们是同种原子，这个晶胞是体心晶胞。若它们不是同种原子，表明不能作体心平移，是素晶胞。（2）将晶胞的框架移至体心，得到的新晶胞与原晶胞毫无差别时，是体心晶胞（为此要在图中按原子的固有排列方式画出更多的原子，而且在移动晶胞框架时不要移动图中的原子）。（3）考察处于晶胞顶角的原子本身以及其周围环境与处于体心的原子以及周围环境是否相同，如果相同，这种晶胞就是体心晶胞。

[例2]图5中哪种晶胞（实线的立方体）是体心晶胞？

图5体心晶胞与非体心晶胞的例子

[答]金属钠的晶胞是体心晶胞而氯化铯是素晶胞。金属钠晶胞中只有2个原子，它们的原子坐标分别为0，0，0和1/2，1/2，1/2，而且它们是同种原子，说明晶胞具有体心平移的特征，故为体心晶胞。氯化铯晶胞虽也有2个与金属钠晶胞原子坐标相同的原子，但一个是氯，另一个是铯，不具有平移关系（注：平移关系是平移前后结构不可区分），因此是素晶胞。提请读者注意：我国有许多教科书或教学参考资料，特别是中学高考复习资料，错误地将氯化铯说成体心晶胞，应予纠正。

面心晶胞的特征是可作面心平移，即所有原子均可作在其原子坐标上+（1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；1/2，0，1/2）的平移而得到周围环境完全相同的原子。如晶胞顶角有一个原子，在晶胞三对平行面的中心必有完全相同的原子（周围环境也相同）。

[例4]图6中哪个晶胞是面心晶胞？

[答]金属铜是面心晶胞；Cu₃Au是素晶胞。

图6面心晶胞（金属铜）（左）与非面心晶胞（Cu₃Au）（右）举例

[例4]金刚石、干冰晶胞（如图7）是不是面心晶胞？

图7金刚石晶胞（左）和干冰晶胞（右）

[答]金刚石晶胞中有8个原子，它们的原子坐标分别是0，0，0（顶角原子）；1/2，1/2，0；1/2，0，1/2；0，1/2，1/2（3个面心原子）；3/4，1/4，1/4；1/4，3/4，1/4；1/4，1/4，3/4和3/4，3/4,3/4（4个分处晶胞4条体对角线上的原子）；前4个原子无疑是面心平移关系。后4个原子也是面心平移关系，例如，对坐标为3/4，1/4，1/4的原子的坐标上分别加面心平移坐标：

结果得到另外3个原子的坐标，可见，这4个原子也具有面心平移关系，换言之，金刚石晶胞的结构基元为2个原子（0，0，0和3/4，1/4，1/4）的集合，这2个原子分别作面心平移，得到8个原子，结论：金刚石晶胞具有面心平移的特征，是面心晶胞。

干冰晶胞无疑不是面心晶胞。因为该晶胞中有4个取向不同的二氧化碳分子，它们是不可能进行面心平移的。例如，顶角二氧化碳分子是一种取向（为什么8个顶角二氧化碳分子的取向必定相同？），3对面心的二氧化碳分子的取向与顶角二氧化碳分子的取向都不同，而且它们也互不相同。需提请读者注意的是，我国大多数学校的干冰晶胞立体模型是错误的，这些模型中的二氧化碳分子的取向搞错了。

底心晶胞的特征是可作底心平移，即晶胞中的原子能发生如下平移：+（1/2，1/2，0），称为C底心；+（0，1/2，1/2），称为A底心；+（1/2，0，1/2），称为B底心。底心平移是指只能发生其中一种平移。

[例5]图3-8中的实线给出了碘的晶胞（正交晶胞），请问：它是什么底心晶胞（A、B、C）？

图8  底心晶胞举例（I₂）

[答]将晶胞原点移至bc面心（a）和ab面心（c）均不能使所有原子坐标不变，只有将晶胞原点移至ac面心（b）才得到所有原子坐标不变的新晶胞，可见碘的晶胞是B底心（正交）晶胞。

（5）布拉维系

平行六面体的几何特征可用边长关系和夹角关系确定。布拉维晶胞的边长与夹角叫做晶胞参数，其定义如图9所示（注意不要弄错夹角与边的相互关系）。共有7种不同几何特征的（三维）晶胞，称为布拉维系（Bravais system）（如图10），它们的名称、英文名称、符号及几何特征如下：

图9晶胞参数的定义

立方cubic(c)a=b=c,α=β=γ=90°(只有1个晶胞参数a是可变动的)

四方tetragonal(t)a=b≠c,α=β=γ=90°(有2个晶胞参数a和c)

正交orthorhomic(o)a≠b≠c,α=β=γ=90°(有3个晶胞参数a、b和c)

单斜monoclinic(m)a≠b≠c,α=γ=90°,β≠90°(有4个晶胞参数a、b、c和β)

三斜anorthic(a)a≠b≠c,α≠β≠γ(有6个晶胞参数a、b、c、α、β和γ)

六方hexagonal(h)a=b≠c,α=β=90°,γ=120°(有2个晶胞参数a和c)

菱方rhombohedral(R)a=b=c,α=β=γ（有2个晶胞参数a和α）

图10晶胞按平行六面体几何特征的分类——布拉维系

(6)14种布拉维点阵型

布拉维系有7种不同几何特征的晶胞；晶胞又有素晶胞、体心晶胞、面心晶胞和底心晶胞之分。那么，布拉维系的7种晶胞是否都既有素晶胞又有复晶胞呢？19世纪中叶，法国晶体学家布拉维（Bravais）严密地论证了这个问题，得出结论如下：布拉维系7系和晶胞的素、复结合，总共只有14种晶胞，如表1和图11所示，在晶体学中，称为布拉维点阵型（注：图11中的每个小黑点是晶胞中的一个结构基元的抽象，叫做点阵点。点阵点的系列叫做点阵。所以图11叫做点阵型。晶胞的形状与大小与点阵单位的形状与大小完全相等。但晶胞图给出具体的原子而点阵单位图只给出点阵点。注意：晶胞（crystal cell）和点阵单位（lattice unit）在许多文献中是不加区分地混用的。）。表1给出了这14种晶胞的符号。其中小写字母c、t、o、m、a、h是所谓“晶族”（crystal family）的代号，大写字母P、I、F分别代表素晶胞、体心晶胞和面心晶胞，A、B、C代表底心晶胞，R则只代表布拉维系的菱方晶胞。小写字母和大写字母结合，是一种既涉及布拉维系又涉及素、复的晶胞代号，例如，cP是素立方晶胞，cI是体心立方晶胞，等等。这些符号是国际晶体学会组织编写的重要工具书晶体学国际表（1983）推荐的，已广泛应用。

表1    14种布拉维点阵型

图11  三维点阵的14种布拉维点阵型